В этой статье рассмотрим правила умножения комплексных чисел. Если у вас возникают вопросы о том, что же такое комплексные числа, то обратитесь к этой статье. Правила сложения и вычитания комплексных чисел рассмотрены здесь.
Чтобы умножить комплексные числа необходимо:
Действительную часть первого комплексного числа умножить на действительную часть второго комплексного числа.
Мнимую часть первого комплексного числа умножить на
мнимую часть второго комплексного числа.
Или в виде формулы умножения комплексных чисел:
(a + b i ) (c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i 2
Но поскольку i 2 = −1 , то получаем:
(a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + b c i — b d
Рассмотрим пример умножения комплексных чисел:
(3 + 2 i ) (1 + 7 i)= 3 · 1 + 3 · 7 i + 2 i · 1 + 2 i · 7 i = = 3 + 21 i + 2 i + 14 i 2 = 3 + 21 i + 2 i — 14 = −11 + 23 i
Еще пример:
(1 + i ) 2 = (1 + i ) (1 + i )= 1 · 1 + 1 · i + 1 · i + i 2 = 1 + 2 i — 1 = 0 + 2 i = 2 i
Но можно умножать быстрее, используя формулу:
(a + b i ) (c + d i ) = (ac − bd) + (ad + bc) i
Пример применения формулы умножения комплексных чисел:
(3 + 2 i ) (1 + 7 i ) = (3 · 1 — 2 · 7) + (3 · 7 + 2 · 1) i = −11 + 23 i
Давайте попробуем i 2
Мы можем написать i с действительной и мнимой частью как 0 + i
i 2 = (0 + i) 2= (0 + i) (0 + i) = (0 · 0 — 1 · 1) + (0 · 1 + 1 · 0) i = −1 + 0 i = −1
И это хорошо согласуется с определением, что i 2 = -1
Так что все прекрасно работает!